李文东-例谈数列中的偶数项问题

f(n)＝a·qn(a，q为formula_系数)，则＝q，即素数{an}的任意项和位数项分别重新组合成一个公比为q的等比素数.

举例5 据信素数{an}之中

(1)以求证：素数{a2n}与{a2n－1}都是等比素数；

(2)以求素数{an}的从前n项和Sn.

多种类型3 an＋1＋(－1)nan＝f(n)，于是当n为任意时，an＋1－an＝f(n)，n为位数时，an＋1＋an＝f(n)；从而当n为任意时，n＋1为位数，故

于是

当n为位数时，n＋1为任意，故

于是

比如说地，若f(n)＝an＋b(a，b为系数)，则

bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝f(4n－2)－f(4n－3)＋f(4n－1)＋f(4n－2)＝8an＋2b－2a，可见素数{bn}是一个后首为6a＋2b、引线为8a的等差素数.

举例6 (2012年全国卷Ⅰ思16)据信素数{an}符合an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的从前60项和为______.

原理1 由题意得f(n)＝2n－1，于是当n为任意时an＋2＋an＝f(n＋1)－f(n)＝2，当n为位数时an＋2＋an＝f(n＋1)＋f(n)＝4n.故

原理2 bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n是一个后首为10，引线为16的等差素数，于是

由题目分析自为当n为任意时，an＋2＋an＝an＋2＋an＋4＝2，从而an＋4＝an，若a1＝1，则a4n－3＝1，又a4n－3＋a4n－1＝2，故a4n－1＝1，于是当n为任意时an＝1，an＋1－an＝2n－1，于是当n为位数时an＝2n－2，即本题是一道填空题，故结论a1＝1也算是一种适当的作法.

举例7 据信素数{an}(n∈N ∗)符合a1＝1－3k，an＝4n－1－3an－1(n≥2，k∈R ).

(1)以求素数{an}的通项公的设计；

(2)若素数{an}为递增素数，以求k的取倍数适用范围.

素数的呆板性难题，其本质上是an＋1－an＞0(或an＋1－an＜0)的不等的设计恒成立难题，素数的通项公的设计之中含(－1)n，就需对n进行时整数性研讨，确定(－1)n的倍数日后剥离变量转化成为素数最倍数难题.

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